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Title: O método dos gradientes conjugados pré-condicionado por fatoração incompleta lu de nível zero
Authors: Frango, Joseana Veiga de Souza
metadata.dc.contributor.advisor: Pereira, Thiago Jordem
Issue Date: 2018
Abstract: Ao lidar com problemas de diversas áreas cinéticas como a Física, Química, Engenharias e até a própria Matemática, muitos deles são modelados por sistemas lineares. Algumas dessas aplicações apresentam certo nível de dificuldade, observados em sistemas lineares de grande porte ou esparsos. Nesses casos, buscar uma solução ao problema diretamente pode ser inviável. Uma alternativa a tal necessidade é utilizar método iterativos para buscar uma solução aproximada, porém precisa, do sistema linear. Com isso, ao longo das últimas décadas, a investigação de métodos numéricos iterativos na resolução de sistemas lineares vem ganhando destaque, principalmente o uso do métodos dos Gradientes Conjugados (GC). Sua convergência eficiente se deve principalmente ao seu conjunto de direções A-conjugadas linearmente independentes. Entretanto, tal eficiência é prejudicada quando a matriz de coeficientes é esparsa ou mal condicionada, por exemplo. As inúmeras maneiras de reparar tal dano ao método dos GC, emprega-se o pré-condicionamento da matriz de coeficientes. Dessa forma, resolve-se um sistema linear equivalente ao original, cuja matriz pré-condicionadora seja uma aproximação da matriz original de coeficientes. As inúmeras maneiras para se gerar uma matriz pré-condicionadora, faz com que existam diferentes tipos de pré-condicionadores, dos quais adota-se neste trabalho os de Fatoração Incompleta LU de Nível Zero - ILU(0). Logo, este trabalho tem como intuito analisar a convergência do método dos Gradientes Conjugados com pré-condicionador ILU(0), aplicado a sistemas lineares esparsos obtidos da discretização de equações diferenciais parciais por diferenças finitas.
metadata.dc.description.abstractother: When dealing with problems from various kinetic areas such as physics, chemistry, engineering and even mathematics itself, many of them are modeled by linear systems. Some of these applications present a certain level of difficulty, observed in large or sparse linear systems. In such cases, seeking a solution to the problem directly may be impracticable. An alternative to such a need is to use iterative methods to find an approximate but accurate solution of the linear system. Thus, over the last decades, the investigation of iterative numerical methods in the resolution of linear systems has gained prominence, especially the use of the Conjugate Gradients (GC) methods. Its efficient convergence is mainly due to its set of linearly independent A-conjugated directions. However, such efficiency is impaired when the coefficient matrix is ​​sparse or poorly conditioned, for example. The innumerable ways of repairing such damage to the GC method employ the preconditioning of the coefficient matrix. Thus, a linear system equivalent to the original is solved, whose preconditioning matrix is ​​an approximation of the original coefficient matrix. The innumerable ways to generate a preconditioning matrix, lead to the existence of different types of preconditioners, from which we adopt the Incomplete Zero Level LU Factorization - ILU (0). Therefore, this paper aims to analyze the convergence of the ILU (0) Preconditioned Conjugate Gradients method, applied to sparse linear systems obtained from the discretization of differential equations. partial by finite differences.
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