O método dos gradientes conjugados pré-condicionado por fatoração incompleta lu de nível zero

Abstract

Ao lidar com problemas de diversas áreas cinéticas como a Física, Química, Engenharias e até a própria Matemática, muitos deles são modelados por sistemas lineares. Algumas dessas aplicações apresentam certo nível de dificuldade, observados em sistemas lineares de grande porte ou esparsos. Nesses casos, buscar uma solução ao problema diretamente pode ser inviável. Uma alternativa a tal necessidade é utilizar método iterativos para buscar uma solução aproximada, porém precisa, do sistema linear. Com isso, ao longo das últimas décadas, a investigação de métodos numéricos iterativos na resolução de sistemas lineares vem ganhando destaque, principalmente o uso do métodos dos Gradientes Conjugados (GC). Sua convergência eficiente se deve principalmente ao seu conjunto de direções A-conjugadas linearmente independentes. Entretanto, tal eficiência é prejudicada quando a matriz de coeficientes é esparsa ou mal condicionada, por exemplo. As inúmeras maneiras de reparar tal dano ao método dos GC, emprega-se o pré-condicionamento da matriz de coeficientes. Dessa forma, resolve-se um sistema linear equivalente ao original, cuja matriz pré-condicionadora seja uma aproximação da matriz original de coeficientes. As inúmeras maneiras para se gerar uma matriz pré-condicionadora, faz com que existam diferentes tipos de pré-condicionadores, dos quais adota-se neste trabalho os de Fatoração Incompleta LU de Nível Zero - ILU(0). Logo, este trabalho tem como intuito analisar a convergência do método dos Gradientes Conjugados com pré-condicionador ILU(0), aplicado a sistemas lineares esparsos obtidos da discretização de equações diferenciais parciais por diferenças finitas.