Sobre Prismas Complementares de Grafos Autocomplementares

Abstract

O prisma complementar GG de um grafo simples G é o grafo obtido a partir da união de G com seu complementar G, ligando-se cada vértice de G à sua correspondente cópia em G. Prismas complementares de grafos têm sido intensamente investigados pela teoria algébrica e combinatória de grafos. Em artigo recente [D.Cardoso et al., Linear Algebra and its Applications, vol. 1(2018)1 − 14], a primeira descrição do espectro (ou seja, da coleção de autovalores) da matriz de adjacência de um prisma complementar apareceu na literatura. Nele, a parte do espectro de GG obtida dos autovalores não principais do grafo base G, foi explicitada e, em particular, o espectro do prisma complementar de um grafo regular arbitrário foi completamente determinado, permanecendo em aberto o problema de descrever os espectros de prismas complementares de grafos em outras classes. Neste trabalho, os conceitos e resultados da Teoria Espectral de Grafos concernentes, sobretudo, aos autovalores principais da matriz de adjacência foram estudados de forma aprofundada. Foram também estudados resultados da literatura sobre grafos autocomplementares, aqueles que têm a propriedade de serem isomorfos aos seus respectivos grafos complementares, e sobre seus autovalores principais. Com a experiência adquirida, foi possível descrever completamente os espectros de certos grafos autocomplementares birregulares e também, dos prismas complementares destes grafos, o configura uma contribuição à investigação iniciada com o artigo acima mencionado.