Um estudo sobre os métodos de Runge-Kutta com forte estabilidade linear e não linear

Abstract

Métodos numéricos de elevada ordem são fortemente recomendados para simula- ções envolvendo instabilidade térmica e hidrodinâmica, geração de ruído aeroacústico e escoamentos turbulentos. Na obtenção de regime permanente, assim como na solução problemas rígidos, o emprego de métodos implícitos é sempre viável devido a forte estabilidade e a possibilidade de um maior passo no tempo. No entanto, para problemas envolvendo descontinuidades, exige-se estabilidade não linear forte e a monotonicidade deve ser preservada, ao custo de uma limitação do passo no tempo. Assim, a propriedade dos métodos que preservam fortemente a estabilidade (SSP) coloca em teste a mais importante vantagem dos métodos implícitos sobre os explícitos. Este trabalho apresenta uma análise de custo computacional dos métodos de Runge-Kutta implícitos, implícitos-explícitos (IMEX) e explícitos aplicados às equações de Euler e Navier-Stokes, bem como equações escalares. Os resultados mostram que os esquemas explícitos em geral são os mais eficientes na presença de descontinuidades. Nem sempre é possível obter regimes permanente para problemas instáveis, mesmo com métodos implícitos tradicionais. Neste trabalho são desenvolvidos esquemas de Runge-Kutta implícitos com o objetivo de minimizar a região instável numérica. Os resultados mostram que o método tem a melhor eficiência dentre os disponíveis na literatura. Por fim, uma análise de resultados bidimensionais compressíveis é realizada, mostrando a importância das descontinuidades e interação do choque com camada limite e separação no desenvolvimento de instabilidades em escoamentos supersônicos sobre uma rampa. Sendo o primeiro trabalho a mostrar concordância entre os resultados obtidos com simulação numérica direta (DNS) e a análise de estabilidade linear.