O teorema de Banach-Necas-Babuska

Abstract

Neste trabalho, estudamos o teorema de Banach-Necas-Babuska, que é um dos principais resultados da análise funcional que garante a boa colocação das formulações variacionais mistas e contorna as limitações do teorema de Lax-Milgram. Sua importância reside no fato de tais formulações constituirem pontos de partida das aproximações através do método de elementos finitos de diversos problemas de interesse prático. Para tanto, após a introdução, o texto apresenta algumas ferramentas matemáticas básicas que consistem em noções sobre espaços métricos, elementos da teoria de integração e medida de Lebesgue, e espaços vetoriais tendo como foco os espaços de Banach e os espaços de Hilbert. Em seguida, são provados os teoremas da representação de Riez, de Lax-Milgram, da imagem fechada e do mapeamento aberto, usados fortemente na demonstração teorema de Banach-Necas-Babuska, que é o objetivo central deste trabalho. Embora a abordagem adotada aqui seja puramente abstrata considerando um problema variacional misto abstrato, como motivação, são apresentamos um problema prático que pode ser posto na forma variacional abstrata discutida aqui.