Uma introdução à teoria ergódica

Abstract

O estudo de sistemas dinâmicos é de interesse de várias áreas do conhecimento pois são usados para modelar sistemas físicos, econômicos, biológicos, etc. Podemos dizer que um sistema dinâmico modela a evolução de um sistema ao longo do tempo, ou seja, é composto por um espaço X e uma regra que determine como todos os pontos de X evoluem com o tempo. Neste trabalho, vamos nos concentrar em sistemas dinâmicos com tempo discreto: considerando T : X ! X a regra que determina a evolução de todos os pontos de X, cada ponto inicial x 2 X é associado ao ponto T(x) após uma unidade de tempo. Dessa forma, definimos T1(Tn(x)) = T1+n(x) para qualquer n 2 N e T0(x) = x, para todo x 2 X e, chamamos de órbita de x o conjunto dos iterados de x. Dado um sistema dinâmico (X, T), podemos nos referir à T como uma dinâmica, deixando o espaço X subentendido. Muitos dos conceitos e resultados utilizados ao longo do texto estão localizados no apêndice, especificamente o que concerne à teoria da medida. No segundo capítulo deste trabalho vamos dar algumas definições básicas de sistemas dinâmicos e alguns exemplos, como o Shift de Bernoulli e a Expansora de grau 10. Nosso objetivo será estudar essas dinâmicas sob o ponto de vista da Teoria Ergódica