Desvendando e aplicando a integral de Lebesgue

Abstract

O objetivo deste trabalho é estudar a teoria de medida e integral de Lebesgue, motivado por três problemas fundamentais. Primeiramente, será discutido “O problema da medida” em que se busca atribuir uma medida para cada subconjunto da reta, estendendo a noção padrão para (união de) intervalos. Com essa noção de medida bem estruturada, será possível definir a integral de Lebesgue que se mostrará melhor do que a integral de Riemann para resolver “O problema da permutabilidade do limite com a integral”. Finalmente, será discutido a questão da busca por espaços de funções completos e como isso nos leva naturalmente ao belíssimo Teorema de Riesz-Fisher, um dos mais marcantes na teoria da Série de Fourier.