Aplicações da análise funcional no estudo de equações diferenciais parciais

Abstract

Neste trabalho, faremos o estudo de temas da análise funcional e suas implicações na teoria das equações diferenciais parciais. Nosso objetivo principal é demonstrar o teorema de Lax-Milgram, que é um importante resultado da análise funcional aplicada. Contudo, para maior clareza desta demonstração, será necessário o estudo das propriedades gerais dos espaços de Hilbert, o teorema da projeção ortogonal e o importante teorema da representação de Riesz. Por fim, mostraremos que o Teorema de Lax-Milgram nos direciona a um arcabouço matemático que garante a existência e unicidade da solução fraca dos problemas gerais de equações diferenciais parciais uniformemente elípticas em espaços de Sobolev, como exemplo, trataremos do problema modelo motivador deste projeto: a equação de Poisson com condições de contorno de Dirichlet homogênea.