A construção dos números

Abstract

Este trabalho apresenta a construção do conjunto dos números inteiros, racionais e reais, a partir da formalização do conjunto dos números naturais com os axiomas de Peano. O conjunto dos números inteiros foi construído com base no conjunto dos naturais, utilizando-se o conceito de classes de equivalência. Foram definidas as operações de soma e produto, bem como uma relação de ordem, e foram demonstradas algumas propriedades. Por fim, estabeleceu-se uma relação entre a forma dos números inteiros construídos e a notação usual de números inteiros. A construção dos racionais seguiu o mesmo raciocínio, utilizando o conjunto dos inteiros como base. O conjunto dos números reais foi construído através de dois métodos distintos: os chamados cortes de Dedekind, que são subconjuntos especiais do corpo ordenado Q, e a construção de Cantor, usando sequências racionais de Cauchy. Provou-se que ambos os métodos dão origem a um mesmo corpo ordenado completo arquimediano, que é único: o corpo dos números reais.