Geometria convexa: Teorema de Brunn-Minkowski e a desigualdade isoperimétrica

Abstract

Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se para todo x, y ∈ C, e para todo λ ∈ [0, 1], tem-se λx + (1 − λ)y ∈ C. Apesar de sua simplicidade, temos que a convexidade é uma propriedade interessante, com problemas atuais, atualmente se consolidou como uma própria área da Matemática, com diversas discussões acadêmicas desenvolvendo sua teoria, e também com aplicações em diversas áreas, como Otimização e EDP. A desigualdade de Brunn-Minkowski, uma desigualdade de volumes de conjuntos compactos e convexos, é um teorema de Geometria que possui aplicações em várias áreas, e implica rapidamente na desigualdade Isoperimétrica, essa última largamente estudada desde a grécia antiga, e também com diversas variações. O objetivo do texto é munir o(a) leitor(a) com resultados iniciais de Geometria Convexa, com um pouco mais do que o necessário para abordar a desigualdade de Brunn-Minkowski e a desigualdade isoperimétrica. A desigualdade de Brunn-Minkowski ser´a enunciada e demonstrada, e ser˜ao abordadas três aplicações, sendo uma notória a desigualdade isoperimétrica. Já a desigualdade isoperimétrica, além de enunciada e demonstrada, contar´a com uma breve exposição histórica. Os requisitos para o texto são análise real, topologia e álgebra linear. O capítulo 1 foi feito para abordar minimamente o que será necessário de Teoria da Medida, passando pelas definições e pelos resultados mais importantes para o texto. A demonstra¸c˜ao de tais resultados não é essencial para acompanhar o texto. Caso o(a) leitor(a) queira, pode apenas assumi-los.