Problemas de mínimos quadrados: resolução e aplicações

Abstract

O problema de mínimos quadrados é um problema computacional de primordial importância. O originalmente surgiu da necessidade de se ajustar um modelo matemático linear para observações dadas com o propósito de reduzir a influência de erros nas observações. Trata-se de uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados através da minimização da soma dos quadrados da diferença entre os dados observados e os valores estimados (tais diferenças são chamadas resíduos). Este tipo de problema é muito frequente em ciências experimentais; em problemas geodésicos, como o formulado por Gauss para resolver um problema de demarcação de fronteiras para o governo alemão; problemas estatísticos; processamentos de sinais; fotogrametria; entre outros. Na linguagem da Álgebra Linear, o problema de mínimos quadrados pode ser definido como a solução de um sistema de equações Ax = b sobredeterminado, isto é, com mais equações do que incógnitas. Para resolver esse problema, requer-se conhecimento de diferentes áreas, como por exemplo: alguns conceitos de Álgebra Linear; probabilidade; estatística para analisar os dados; ciência da computação para implementação eficiente de algoritmos e programação matemática para formular e resolver problemas de otimização. Entre as soluções apresentadas para resolver o sistema de equações, foram estudados: o método de equações normais; decomposição em valores singulares e fatoração QR. Para exemplificar, foram feitas aplicações no ajuste de curvas e na área de Estatística, em exemplos de regressão linear simples e múltipla, além de discutir brevemente sobre os problemas de condicionamento e estabilidade.