Sólitons topológicos e o método de simmulated annealing

Abstract

No presente trabalho, serão abordados alguns tópicos referentes à um tipo especial de soluções de modelos não-lineares, os chamados sólitons. Estes surgem em diversos modelos em Teoria de Campos e também em muitas outras áreas, sendo objeto de pesquisa atual. Um sóliton pode ser definido sucintamente como uma perturbação que se propaga sem se dispersar e cuja forma é preservada mediante colisões. Existe uma vasta literatura sobre o assunto, com as mais diversas abordagens, todavia, o interesse aqui repousa sobre soluções estáticas e unidimensionais deste tipo que surgem graças à degenerescência no vácuo da teoria e que apresentam, portanto, uma estrutura topológica na sua origem. Como não há formas gerais para obter soluções deste tipo, o uso de métodos computacionais se faz útil. Neste âmbito, o método de Simmulated Annealing parece se encaixar bem, ainda que pareça (e é) um esforço excessivo para problemas tão simples. Porém, deve-se ter em mente que ver que, se tal método funciona bem para problemas simples, indica que este método possa ser uma ferramenta útil na solução de problemas mais complexos. Na introdução são discutidas sucintamente as origens dos sólitons e como o interesse neles surge nas mais diversas áreas, desde a hidrodinâmica e a onda solitária de Russell, até a Fisica Nuclear e os Skyrmions. O primeiro capítulo é um resumo das principais propriedades dos sólitons e de teoremas da Teoria Clássica de Campos. Serão abordados: a origem dos sólitons topológicos; o método de Bogomol’nyi para a obtenção de soluções que minimizam energia; o teorema de Derrick, uma restrição sobre em quais contextos soluções estáticas e estáveis podem surgir; e a estabilidade das soluções frente a perturbações. Neste capítulo também são introduzidos o kink 4 e o modelo de Schwinger bosonizado, que serão analisados numericamente no terceiro capítulo. No segundo capítulo aborda-se o método de Simmulated Annealing, vê-se como este surge de uma analogia entre o arrefecimento de cristais e problemas de otimização, bem como o ‘artesanato’ que constitui sua implementação, além de uma breve discussão sobre os possíveis problemas que podem ser encontrados ao utilizá-lo. O terceiro capítulo é a apresentação dos resultados obtidos, além de conter mais alguns detalhes da implementação. Para o modelo 4, tem-se a comparação analítico-numérica, que ajuda a mostrar o quão eficaz é o método; para um modelo bosonizado de férmions interagentes, os conceitos de blindagem e quebra de corda são analisados. No apêndice, a implementação dos algoritmos em Wolfram Mathematica é mostrada