Controlabilidades Nula e Aproximada da Equação do Calor Semilinear com Comportamento Explosivo

Abstract

Considera-se a equação do calor semilinear em um domínio limitado, com fronteira suficientemente regular, do espaço euclidiano d−dimensional, com um controle agindo em um seu subdomínio e com condições d efronteira de Dirichlet homogêneas. Prova-se que o sistema é controlável a zero em qualquer tempo pré-fixado sempre que existir uma trajetória globalmente definida e limitada e a não linearidade crescer estritamente mais devagar do que a função s→|s|[log(1+|s|)]3/2, quando |s|→∞. Esta condição é satisfeita, por exemplo, pelas funções s→|s|[log(1+|s|)]p, com 1< p<3/2. No caso destas funções, quando há ausência de um controle, verificam-se “explosões”, ou seja, existem trajetórias que não estão globalmente definidas, dependendo da condição inicial. Também é demonstrado que,se a não linearidade tem um comportamento semelhante ao de |s|[log(1+|s|)]p,com p>2,então a controlabilidade nula do sistema pode falhar, dependendo da condição inicial. Resultados análogos são demonstrados no contexto da controlabilidade aproximada.