Reduções e pull-backs de estruturas geométricas descrevendo sistemas não-holônomos

Abstract

Os sistemas nao holônomos são sistemas mecânicos com restrições nas velocidades. Geometricamente as restrições descrevem uma distribuição não integrável (no sentido Frobenius) e como consequência a dinâmica não holônoma está descrita por um colchete almost Poisson {·,·}nh numa variedade M e uma função hamiltoniana HM. Se G é um grupo de Lie que deixa invariante o sistema não holônomo, então na variedade reduzida M/G temos induzido um colchete {·,·}red que descreve a dinâmica reduzida. Acontece em vários exemplos que o colchete reduzido é Poisson mesmo sendo induzido por um que não era. Quando este fenômeno acontece, falamos de hamiltonização. Neste trabalho se estudam sistemas não holônomos que admitem uma hamiltonização após uma redução por simetrias. As estruturas de (almost) Dirac (estruturas que generalizam 2- formas e colchetes) nos permitem estudar o pull-back a M do colchete de Poisson {·,·}red obtido em M/G. Nesta dissertaçãao comparamos as duas estruturas de almost Dirac definidas em M que descrevem a dinâmica: a estrutura de almost Dirac dada pelo colchete de almost Poisson {·,·}nh e a estrutura de Dirac induzida pelo pull-back do colchete de Poisson {·,·}red. Finalmente, se apresentam dois exemplos clássicos que admitem uma hamiltonização: a partícula não holônoma e a bola Chaplygin, e se estudam as suas estruturas de Dirac e almost Dirac associadas.