Hypersurface singularities in arbitrary characteristic

Abstract

O estudo de singularidades de espaços analíticos ou algébricos sobre o corpo dos números complexos é um tema tradicional que tem visto avanços impressionantes nas últimas décadas. Em contraste, uma teoria paralela sobre corpos algebricamente fechados é ainda pobre e existem muitas questões interessantes para serem respondidas. Nosso objetivo nessa tese é contribuir nessa direção focando em algumas questões sobre singularidades de hipersuperfícies e, mais particularmente, sobre singularidades de curvas planas. Nosso ponto principal aqui será o estudo do número de Milnor de uma singularidade isolada de uma hipersuperfície, o qual é definido como a codimensão do ideal gerado pelas derivadas parciais de uma série de potências que representa localmente a hipersuperfície. Este é um invariante topológico importante sobre os números complexos, mas seu significado muda dramaticamente quando o corpo de base é arbitrário. Acontece que, se o corpo é de característica positiva, este número pode ser infinito e depender da equação local da hipersuperfície. Nessa tese estudaremos a variação do número de Milnor em termos de uma equação local dando condições necessárias e suficientes para sua invariância. Nós também relacionamos, para uma singularidade isolada, a finitude desse número com a suavidade de uma fibra genérica de uma deformação da hipersuperfície, relacionando isso com um resultado de Bertini. Finalmente nós especializamos ao caso de singularidades irredutíveis de curvas planas onde damos uma condição suficiente em termos de um invariante de equisingularidade para a validade de um resultado de Milnor, conhecido sobre os números complexos, que diz que o número de Milnor em um ponto coincide com o condutor da curva naquele ponto. Concluímos o trabalho com o estudo do módulo de diferenciais de Kähler de uma curva plana sobre corpos de característica positiva, evidenciando várias diferenças com o caso de característica zero.