Rotational deviations for minimal torus homeomorphisms

Abstract

Seja f um homeomorfismo do toro homotópico à identidade e ˜f :R2 →R2 um levantamento de f. Generalizando o número de rotação introduzido por Poincaré para aplicações do círculo, Misiurewicz e Ziemian em [MZ89] definiram um conjunto compacto e convexo ρ(˜f)⊂R2, denominado conjunto de rotação, que reflete muitas propriedades dinâmicas de f. Este conjunto tem interior vazio se f não possui pontos periódicos e, portanto, podemos encontrar uma reta contendo o conjunto de rotação. Nesta tese, consideraremos o caso de homeomorfismo minimal, i.e. um homeomorfismo com todas as órbitas densas no toro. Se v∈R2 é um vetor perpendicular a reta contendo ρ(˜f), então a projeção ortogonal de ρ(˜f) na direção de v é um único pontoρ(˜f),v. Dizemos que f tem desvio rotacional limitado na direção de v, quando ˜fn(z) −z−nρ(˜f),v é uniformemente limitado para todo z∈R2 e n∈Z. O objetivo do nosso trabalho é estudar a dinâmica de f considerando desvios rotacionais limitados ou ilimitados. Provamos que a existência de uma partição do toro invariante por f, formada por conjuntos conexos e essenciais com interior vazio, é uma condição necessária e suficiente para desvios limitados. Além disso, mostramos que, se o conjunto de rotação é um segmento com inclinação racional, então temos a seguinte dicotomia: ou f possui desvio limitado ou todo conjunto aberto se espalha em todas as direções.